В предложении Мальчишки, забравшиеся на берёзу, не трогайте птичье гнездо выделенное слово выполняет функцию подлежащего.  — Неверно, выделенное слово является обращением, поэтому не может быть никаким членом предложения.

В предложении Нос у старика немного загнут простое глагольное сказуемое.  — Неверно, сказуемое в этом предложении составное именное.

В предложении Его верный слуга пришёл предупредить хозяина об опасности инфинитив выполняет функцию обстоятельства.  — Верно.

Предложение По-моему, она вряд ли захочет плавать является нераспространённым.  — Верно.

Предложение Всё небо заволокло облаками является двусоставным.  — Неверно, основа предложения представлена одним главным членом  — сказуемым, а существительное «небо» является дополнением.

Ответ: 34.